附件2：
四川省普通高中数学学科学业水平考试要求及说明
题型示例
1．选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【例1】 cos1110°的值是
(A) - (B) (C) - (D)
【分析】 根据诱导公式，将1110°转化为(0°，360°)或(0°，90°)：cos1110°= cos(3×360°+30°)=cos30°= ．
【答案】 (B)．
【说明】 本题主要考查诱导公式(终边相同的角的关系)、特殊角的三角函数值，能力要求层次为了解，属于容易题．
【例2】 复数
(A) (B) (C) (D)
【分析】 复数的四则运算，按法则进行： ．
【答案】 (C)．
【说明】 本题主要考查复数的代数运算，能力要求层次为了解，属于容易题．
【例3】 下列函数中，定义域为R的是
(A) y= (B) y=log2x (C) y=x3 (D) y=
【分析】 由于各选项给出的均是具体的基本初等函数，考察函数自变量的取值范围即可．
【答案】 (C)．
【说明】 本题主要考查基本初等函数的定义域，能力要求层次为了解，属于容易题．
【例4】 若 ，则
(A) (B) (C) (D)
【分析】 判断给定两个数集的关系，可以结合数轴直观．显然，(A)(B)不正确，由 得 ，∴ ，故选(D)．
【答案】 (D)．
【说明】 本题主要考查集合与集合的关系，补集的求法，能力要求层次为理解，属于容易题．
【例5】 数列 的前 项和为 ，若 ，则
(A) (B) (C) (D)
【分析】 已知 ，求 (或具体的前n项和)，可以直接运用公式，或观察 的特征，选用相应的方法．这里采用裂项相消处理．
【答案】 (A)．
【说明】 本题主要考查数列通项和前n项和的关系(求法)，能力要求层次为了解，属于容易题．因为问题要求的是 ，除采用根据通项求和的方法外，还可以采用逐一求出 、 、…、 的方法获得答案．
【例6】 函数 的零点所在的区间是
(A) (B) (C) (D)
【分析】 由零点存在性定理，若零点所在区间为(a,b)，则f(a)f(b)<0．于是，从判断区间端点函数值的符号入手解题． ， ，故选(C).
【答案】 (C)．
【说明】 本题主要考查函数零点存在性定理的运用，能力要求层次为了解，属于容易题．在这里，函数f(x)单调递增，有且仅有一个零点．
【例7】 已知向量 ， ，则
(A) (B) (C) 20 (D) 40
【分析】 根据已知，先由坐标运算求出向量b=(2，-4)，再求其模．
【答案】 (A)．
【说明】 本题主要考查向量的坐标运算及向量的模，能力要求层次为了解，属于容易题．
【例8】 将函数 的图象上所有点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标不变，所得图象对应的函数的最小正周期为
(A) 4π (B) 2π (C) π (D)
【分析】 根据函数图象变换与解析式相应变化的关系，“横坐标缩小为原来的一半，纵坐标不变”对应“2x代换x”，函数变为 ，选(C)．
【答案】 (C)．
【说明】 本题主要考查三角函数图象(变换)与性质(周期)，能力要求层次为了解，属于容易题．
【例9】若一个几何体的三视图都是三角形，则这个几何体是
(A) 圆锥 (B) 四棱锥 (C) 三棱锥 (D) 三棱台
【分析】 由正视图与侧视图都是三角形，说明几何体为锥体，再由俯视图也是三角形，说明底面是三角形，所以几何体为三棱锥．
【答案】 选择(C)．
【说明】 本题主要考查三视图，对几何体的形状进行判断，考查学生的空间想象能力，能力层次要求为了解，属于容易题．
【例10】 两条直线 与 的位置关系是
(A) 平行 (B) 垂直 (C) 相交且不垂直 (D) 重合
【分析】 由两直线方程的系数关系判断其位置关系,因为对应系数的积之和： ，所以这两条直线是垂直的．
【答案】 (B)．
【说明】 本题主要考查两条直线垂直的判定，应用意识，能力层次要求为理解，属于容易题．
【例11】 已知 是第四象限角，则方程 表示的曲线是
(A) 焦点在 轴上的椭圆 (B)焦点在 轴上的椭圆
(C) 焦点在 轴上的双曲线 (D)焦点在 轴上的双曲线
【分析】 根据 所在象限，确定出 的符号，再根据方程的形式判断属于那类曲线．因为 是第四象限角，所以 <0，所以方程 表示焦点在y轴上的双曲线．
【答案】 (D)．
【说明】 本题主要考查三角函数的符号，双曲线的定义，特殊与一般的思想，能力层次要求为了解，属于容易题．
【例12】 已知抛物线 上的一点P到y轴的距离为2，则点P到此抛物线的焦点的距离是
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
【分析】 已知抛物线上的点，求焦点弦问题，都是根据抛物线的定义解决问题．根据抛物线的定义知，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，而准线到y轴的距离为1，点P到y轴距离为2，所以点P到准线的距离3．
【答案】 (C)．
【说明】 本题主要考查抛物线的定义，数形结合的思想，化归与转化的思想，应用意识，能力层次要求为理解，属于容易题．
【例 13】 如图所示的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白处的判断框中，应该填入下面四个选项中的(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“ ”或“：=”)
(A) c>x (B) x>c
(C) c>b (D) b>c
【分析】 正确理解“输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数”的含义是解决本题的关键．
【答案】 (A)．
【说明】 本题主要考查框图中的条件结构，识图能力以及观察、推理的能力，能力要求层次为理解，属于容易题．
【例14】 下列说法正确的是
(A) 事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
(B) 事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小
(C) 互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
(D) 互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
【分析】 根据并事件、交事件、互斥事件和对立事件的定义进行判断．
【答案】 (D)．
【说明】 本题主要考查并事件、交事件、互斥事件和对立事件的定义，能力要求层次为了解，属于容易题．
【例15】 函数 的图象关于直线y=x对称的图象大致是
【分析】 的图象过点 ，且单调递减，故它关于直线y=x对称的图象过点 且单调递减，选(A)．
【答案】 (A)．
【说明】 本题主要考查指数函数的图象及图象的对称变换，能力要求层次为理解，属于中档题．解答本题还有两种思路：一是作出函数 的图象，再作其对称图形；二是利用互为反函数的两个函数的图象关系(其反函数为 )．
【例16】 若 为实数，则“ ”是“ ”的
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
【分析】 充分必要条件的判断，应注意分析“甲”能否推出“乙”、“乙”能否推出“甲”，进行推证时，还应充分运用到特例和反例．对于本例，当 ， 时，有 ；反过来，当 ， 时，则有 ，∴“ ”是“ ”的既不充分也不必要的条件.
【答案】 (D)．
【说明】 本题主要考查充要条件的概念及其判断，能力要求层次为理解，属于中档题．
【例17】 若 ， ， 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是
(A) ， (B) ，
(C) ， ， 共面 (D) ， ， 共点 ， ， 共面
【分析】 借助正方体各棱的位置关系，可举出A，C，D三个选项的反例，说明不成立，如 共面，B选项显然成立，如不共面，由 ， ，根据异面直线所成角知 与 所成角为90°．
【答案】 (B)．
【说明】 本题主要考查空间直线的位置关系，化归与转化的思想，空间想象能力和推理论证能力，能力层次要求为理解，属于中档题．
2．填空题：将答案直接填在题中横线上．
【例18】 已知集合 ，集合 ，则 的一个非空子集是___________．
【分析】 由已知， ．
【答案】 、 或 (填其中一个即可)．
【说明】 本题主要考查集合的运算(求交集)、对给定集合子集的识别，能力层次要求为理解，属于容易题．
【例19】 已知函数 那么f(4)的值为____________
【分析】 求各段函数已知的分段函数的函数值，基本方法是根据自变量的范围代入相应解析式．∵4>0，∴ ．
【答案】 2．
【说明】 本题主要考查(分段)函数值的求法、简单的对数运算，能力要求层次为了解，属于容易题．
【例20】 某校高中一、二、三年级的学生分别有800名，1200名，1000名，现用分层抽样的方法从其中抽取一个容量为750的样本，则从高中二年级抽取的人数为____________ .
【分析】 总体是由差异明显的部分组成，根据问题要求采用的抽样方法为分层抽样，故按比例计算各年级抽取的人数．
【答案】 ．
【说明】 本题主要考查分层抽样的方法及相关计算，抽样方法的合理性及统计的思想，能力要求层次为了解，属于容易题．
【例21】 命题“如果函数f(x)是偶函数，那么它的图象关于y轴对称”的逆命题是____________.
【分析】 构造简单命题的逆命题，只需交换命题的条件和结论．
【答案】 如果函数f(x)的图象关于y轴对称，那么它是偶函数．
【说明】 本题主要考查命题的几种形式的关系，能力要求层次为了解，属于容易题．
【例 22】 如图是某中学高二年级举办的演讲比赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的中位数为 .
【分析】 去掉一个最高分93分和一个最低分79分后，余下的五个分数依次是：84，84，85，86，87，中位数是85.
【答案】 85．
【说明】 本题主要考查用茎叶图分析问题的方法，阅读图表的能力，能力要求层次为了解，属于容易题．
【例23】 某人早上醒来的时候发现表停了，如果他打开收音机收听电台报时，他等待的时间不多于10分钟的概率是____________.
【分析】 利用几何概型的定义和几何概型公式求解．
【答案】 ．
【说明】 本考查古典概型和几何概型的识别，解决应用问题的意识和能力，能力要求层次为了解，属于容易题．
【例24】 若角 的终边经过点 ，且 ，则 ______．
【分析】 已知角的终边上的点和三角函数值，运用定义建立关系： = ，解得m=-1．
【答案】 -1．
【说明】 本题主要考查三角函数的定义，能力要求层次为了解，属于容易题．在课标及教材中，强调单位圆在理解定义、性质中的作用，三角函数的定义是以角的终边和单位圆的交点建立的．解答中根据定义得到等式时运用了： (其中，(1，y0)为角的终边与单位圆的交点，(x，y)为终边上异于原点的点)．
【例25 】 当输入的x的值为-5，下列程序运行的结果等于_________．
【分析】 该程序用了输入语句、条件语句、赋值语句和输出语句进行算法描述.
【答案】 5．
【说明】 本题主要考查输入语句、条件语句、赋值语句和输出语句的功能和数学阅读理解的能力，能力要求层次为了解，属于容易题．
【例26】 向量 ， ， 与 的夹角为 ，则 ________．
【分析】 由联系题设各量的向量数量积公式变形即得．
【答案】 -10．
【分析】 本题主要考查向量数乘的运算，能力要求层次为了解，属于容易题．
【例27】 若变量x，y满足约束条件 ，则 的最小值是_________．
【分析】 根据已知的约束条件画出可行域，结合图形即得答案．
【答案】 -6．
【说明】 本题主要考查基本的线性规划问题，能力要求层次为理解，属于中档题．
【例28】 经过点P(3，0)且长轴长是短轴长的3倍的椭圆的标准方程为________________.
【分析】 由于焦点位置不确定，需要分情况讨论，再根据P点坐标得出a或者b，从而得出椭圆的标准方程．当焦点在x轴上时，有a=3，b=1，此时椭圆方程为 ，当焦点在y轴上时，有b=3，a=9，此时椭圆方程为 ．
【答案】 ， ．
【说明】 本题主要考查椭圆的标准方程，分类与整合的思想，应用意识，能力层次要求为理解，属于中档题．
【例29】 函数 ， 的单调递增区间是________．
【分析】 根据正弦函数的单调性解答．令z= ，而函数y=sinz的单调递增区间是 ．由 ，得 ， ．
【答案】 ．
【说明】 本题主要考查三角函数的单调性，能力要求层次为理解，属于中档题．
【例30】 如图，在正方体 中， ，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于_____________．
【分析】 由线面平行得出线线平行，知EF为三角形DAC的中位线，再根据中位线定理求值．因为 ， ，且平面 与平面 的交线为 ，所以 ，又点 为 的中点，所以 为 的中位线，所以 ．因为 ， 为正方形，所以 ，所以 ．
【答案】 ．
【说明】 本题主要考查线面平行的性质，三角形中位线定理，化归与转化的思想，空间想象能力与推理论证能力，能力层次要求为理解，属于中档题．
【例31】 已知一隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？你作出的判断是________(填“能”或“不能”)．
【分析】 建立坐标系，根据圆的方程求出对应点的纵坐标，再与车的高度进行比较，作出合理判断．如图，以半圆的圆心为坐标原点，其直径所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则半圆的方程为： ．令x=2.7，则 ．
∵ ，∴货车不能驶入此隧道．
【答案】 不能．
【说明】 本题主要考查建立适当的坐标系解决实际问题，圆的标准方程，数形结合的思想，数据处理能力和应用意识．能力层次要求为理解，属于中档题．这个题目的特点是紧密联系学生的生活，情境简单符合学生的认知水平，通过对复杂的实际事物适当简化，使得题目即有趣味又具有思想性(坐标法思想)，这是解析几何的核心思想方法．
【例32】 对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1) 0，则f(0)＋f(2)与2f(1)的大小关系为_________________.
【分析】 研究函数值的大小关系，从单调性入手．依题意，当x1时，f (x)0，函数f(x)在(1，＋)上是增函数；当x1时，f (x)0，f(x)在(－，1)上是减函数，故f(x)当x＝1时取得最小值，即有f(0)f(1)，f(2)f(1)，故f(0)＋f(2)2f(1)．
【答案】 f(0)＋f(2)2f(1)．
【说明】 本题主要考查导数性质的应用(导函数的函数值取值与单调性的关系)，能力要求层次为掌握，属于较难题．
【例33】 若函数 的定义域为A，当 且 时，总有 ，则称 为单函数．例如，函数 =2x+1( )是单函数．给出下列命题：①函数 (x R)是单函数；②指数函数 (x R)是单函数；③若 为单函数， 且 ，则 ；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．其中所有真命题的序号是___________．
【分析】 这是“多选多”型填空题，一般需要逐一分析判断．在判断中，应注意特例和反例的灵活运用．对于①，若 ，则 ，不满足；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④为真．
【答案】 ②、③、④．
【说明】 本题以数学新概念为背景，从单函数概念出发，考查学生的阅读能力、理解能力、思维能力、推理能力和创新意识．能力要求层次为掌握，属于较难题．
3．解答题： 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
【例34】 某人有4把钥匙，其中有两把能够打开房门．现随机地取一把钥匙试着开门，不能打开的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是多少？如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是多少？
【分析】 每把钥匙打开门的概率都是相同的，并且试验结果是有限的，故本题是古典型概率问题．
【答案】 ， ．
【说明】 本考查古典概型的识别及学生的实际应用意识，能力要求层次为理解，属于中档题．
【例35】 在等差数列 中， ， ．求：
(Ⅰ) 数列 的通项公式 ；
(Ⅱ) 求 的值．
【分析】 已知等差数列的两个等式，利用等差数列的基本关系建立方程即可得到等差数列的基本量，从而求得通项公式等．
【答案】 (Ⅰ) 方法一：设数列 的公差为d，
则 解得 =3， .
故数列 的通项公式 ．
方法二：由 ，得 ，∴ ．
又∵ ，∴公差 ．由 ，∴ =3．
故数列 的通项公式 ．
(Ⅱ) 方法一：由题知 、 、 、…、 是以 为首项，公差为4的等差数列，则 ．
方法二：由题知 、 、 、…、 是以 为首项，公差为4的等差数列，则 ．
【说明】 本题主要考查等差数列的通项公式、前n项和公式及相关概念、性质，能力要求层次为理解，属于中档题．在解决本问题时，对已知条件的不同表示、对结论(如(Ⅱ)的求和)的不同表达，即产生对问题的不同解法．
【例36】 如图，在平行四边形 中， 是 边的中点，点 在对角线 上，且 ．
(Ⅰ) 记 ， ，试用向量 、 表示 ；
(Ⅱ) 证明： 三点共线．
【分析】 根据向量及其运算的几何意义，联系平面向量共线的表示求解．
【答案】 (Ⅰ) ∵ ， ，
∴ ．
(Ⅱ) 证明： ．
∴ ．故M、N、C三点共线．
【说明】 本题主要考查向量及其运算的几何意义、向量共线的表示，能力要求层次为理解，属于中档题．
【例37】 已知 ，且 ， ．
(I) 求 ；
(II) 求 ．
【分析】 三角恒等变换，抓住相关的角、函数名和式子的结构(即角、名、形)关系入手．
【答案】 (I) 由 ， ，知 ，
∴ . ∴ ．
(或: )
(II) 由 可知， ， ， ，
∴ . 又 ，∴ ．
∴
．
【说明】 本题主要考查三角恒等变换(和差角的正弦、余弦，倍角公式)，能力要求层次为理解，属于中档题．
