一. 选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。
*1. 设函数 ， 是 的反函数，则（ ）
A. B.
C. D.
令
，反函数为 ，选B
*2. 若 是 的极值点，则（ ）
A. 必定存在，且
B. 必定存在，但 不一定等于零
C. 可能不存在
D. 必定不存在
应选C。例： 在 处取得极小值，但该函数在 处不可导，而 不存在
*3. 设有直线 ，则该直线必定（ ）
A. 过原点且垂直于x轴
B. 过原点且平行于x轴
C. 不过原点，但垂直于x轴
D. 不过原点，且不平行于x轴
直线显然过（0，0，0）点，方向向量为 ， 轴的正向方向向量为 ， ，故直线与x轴垂直，故应选A。
*4. 幂级数 在点 处收敛，则级数 （ ）
A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C. 发散 D. 收敛性与 有关
在点 处收敛，推得对 ， 绝对收敛，特别对 有 绝对收敛，故应选A。
5. 对微分方程 ，利用待定系数法求其特解 时，下面特解设法正确的是（ ）
A. B. C. D.
二. 填空题：本大题共10个小题，10个空，每空4分，共40分，把答案填在题中横线上。
*6. _________________.
7. 设 ，则 _________________.
*8. 设 ，则 _________________.
解：
*9. _________________.
解
10. 设 ，则 _________________.
*11. 已知 ，则过点 且同时平行于向量 和 的平面的方程为_________________.
面的法向量为
平面的方程为 即
12. 微分方程 的通解是_________________.
*13. 幂级数 的收敛区间是_________________.
解：令 ，
由 解得， ，于是收敛区间是
14. 设 ，则与 同方向的单位向量 _________________.
*15. 交换二次积分 的次序得 _________________.
解：积分区域如图所示：D： ，于是
三. 解答题：本大题共13个小题，共90分，第16题～第25题每小题6分，第26题～第28题每小题10分，解答时应写出推理，演算步骤。
*16. 计算
解：
*17. 设 ，求
解：
18. 判定函数 的单调区间
19. 求由方程 所确定的隐函数 的微分
*20. 设函数 ，求
解：设 ，则 ，两边求定积分得
解得： ，于是
21. 判定级数 的收敛性，若其收敛，指出是绝对收敛，还是条件收敛？
22. 设 ，求
23. 求微分方程 的通解
*24. 将函数 展开为麦克劳林级数
解：
（ ）
即
25. 设 ，求
26. 求函数 在条件 之下的最值。
*27. 求曲线 的渐近线
解：（1）
曲线没有水平渐近线
（2） ，曲线有铅直渐近线
（3）
所以曲线有斜渐近线
*28. 设区域为D： ，计算
解：积分区域如图所示（阴影部分）
【试题答案】
一.
1. 令
，反函数为 ，选B
2. 应选C。例： 在 处取得极小值，但该函数在 处不可导，而 不存在
3. 直线显然过（0，0，0）点，方向向量为 ， 轴的正向方向向量为 ， ，故直线与x轴垂直，故应选A。
4. 在点 处收敛，推得对 ， 绝对收敛，特别对 有 绝对收敛，故应选A。
5. 特征根为 ，由此可见 （ ）是特征根，于是可设 ，应选C。
二.
6.
7.
8. 解：
9. 解
10.
（ ）
11. 平面的法向量为
平面的方程为 即
12. 解：
通解为
13. 解：令 ，
由 解得， ，于是收敛区间是
14. ，
15. 解：积分区域如图所示：D： ，于是
三.
16. 解：
17. 解：
18. 解：
当 时， ，函数单调增加；当 或 时， ，函数单调减少，故函数的单调递减区间为 ，单调递增区间为
19. 解：方程两边对 求导（注意 是 的函数）：
解得
20. 解：设 ，则 ，两边求定积分得
解得： ，于是
21. 解：（1）先判别级数 的收敛性
令
发散
发散
（2）由于所给级数是交错级数且
<1>
<2>
由莱布尼兹判别法知，原级数收敛，且是条件收敛。
22. 解：
23. 先求方程 的通解：
特征方程为 ，特征根为 ， ，于是齐次方程通解为
……（1）
方程中的 ，其中 不是特征根，可令
则 ，
代入原方程并整理得
，
……（2）
所求通解为
24. 解：
（ ）
即
25. 解：因 由 得
，从而
26. 解：把条件极值问题转化为一元函数的最值
当 时，函数取到最大值
当 时，函数取到最小值0
27. 解：（1）
曲线没有水平渐近线
（2） ，曲线有铅直渐近线
（3）
所以曲线有斜渐近线
28. 解：积分区域如图所示（阴影部分）
